554イナ ◆/7jUdUKiSM 2022/09/22(木) 22:40:10.10ID:N8OWL/y7
前>>479
前々>>476-473、279、268
>>91
回転する円の面積がx軸から√3/2の円軌道上に集まっているとすると、重なりを含む回転体の体積は、
2π(√3/2)π=π^2√3
実際には球欠2個鉢あわせにした体積が重なっているからこれを引く。
球欠=π∫[t=0→1-√3/2]π｛1-(1-t)^2｝dt
=π∫[t=0→1-√3/2](2t-t^2)dt
=π∫[t^2-t^3/3](t=1-√3/2)
=π｛(1-√3/2)^2-(1-√3/2)^3/3｝
=π[1-√3+3/4-(1/3)｛1-3(√3/2)+3(√3/2)^2-(√3/2)^3｝]
=π｛7/4-√3-(1/3)(1-3√3/2+9/4-3√3/8)｝
=π(7/4-√3-1/3+√3/2-3/4+√3/8)
=π(2/3-3√3/8)
回転体の体積=π^2√3-2π(2/3-3√3/8)
=π^2√3-(4/3-3√3/4)π
=16.986914638……