705 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2022/09/24(土) 21:15:20.81 ID:s4cIUXMJ
(i)回転体をx=t(-1/2≦t＜0,1＜t≦3/2)で切った断面はドーナツ型で、
体積=2π〔∫[t=-1/2→0][√3/2+√｛1-(1/2-t)^2｝]^2-∫[t=1→3/2][√3/2-√｛1-(1/2-t)^2｝]^2〕
=4π√3∫[t=-1/2→0]√｛1-(1/2-t)^2｝dt
1/2-t=cosθとおくと-dt=-sinθdθ
dt=sinθdθ
体積=2π√3∫[θ=0→π/3]sinθsinθdθ
=4π√3∫[θ=0→π/3]sinθ^2θdθ
=4π√3∫[θ=0→π/3](1/2-cos2θ/2)dθ
=4π√3[θ=0→π/3][θ/2-sin2θ/4]dθ
=4π√3(π/6-√3/8)
=2π^2√3/3-3π/2