定理2 存在とは輪郭の事である

証明

まず2つの補題を示す。

補題2.1 a及びその冪集合{a}を考える。この時、この二つは別のものである。

証明

仮に同じものだとする。

そうするとa,bがあると、その集合{a,b}が同じものとなる。後者はa,bを一つのものとしてみたものであり、明らかに異なる。よって最初の前提が背理である。すなわち補題が示された。

補題2.2 空間の要素である集合の元は空間の要素である

証明

集合をEと置き、その元eが空間の要素でないと仮定する。E∩e=eであり、eがEの一部であるのにも関わらず空間の要素でない部位がある事になり背理である。よって補題は示された。

対偶を取ると次の系が得られる。

系2.2.1 空間の要素でない元からなる集合は空間の要素ではない

次にAが存在する事とAが空間に要素を持つ事が同値であることを示す。

仮に、存在するが空間に要素がない存在物Aがあったとする。

A及びその冪集合{A}を考える。

ここで仮に{A}も空間に要素がないと仮定する。

そしてBを空間に要素がない存在物の集合と定義する。今{B}を考えると、仮に{B}が空間に要素がないとすると、B⊇{B}となり、かつ{B}⊇BでBと{B}は一致する。しかし、これは補題2.1より矛盾である。

よって{B}は空間の要素である。よって補題2.2よりA,{A}共に空間の要素である事が導かれるがこれは前提と矛盾する。

よって{A}は空間の要素である。

また補題2.2よりAも空間の要素である事か導かれる。

よってAが存在するならば、Aは空間に要素を持つ事が示された。

また空間に要素を持つならば存在する事は自明なので、存在する事と空間に要素を持つ事は同値である事が示された。また空間に要素を持つ事と輪郭を持つ事は同値なので、存在する事と輪郭が定まる事は同値である。