e = (m,n)、arᵐ、arⁿが有理数ならarᵉも有理数だから有理数からなる部分列も等比数列になる
よって有理数列に限定してよい
初項a<1000,公比b/c (b>c, (b,c) = 1)とおけるとしてよい
a(b/c)ⁿが整数⇔cⁿ|a‥①
である
a=128,b/c=3/2の時第0項から第5項までが1000未満の整数列となるから列の長さの最大値は6以上
c≧4のとき
a<1000だから①を満たすnの個数は高々5個である(∵n<log[c]a ≦ log₄1000 < 5)
c=3のとき
①を満たすnが6個以上であるにはaは243の倍数でなければならずa = 243,486,729のいずれかが必要である
第5項はa(b/3)⁵であるがa≧243,b≧4のとき≧1024なので最長で5項以下である
c=2のとき
①を満たすnが6個以上であるにはaは128の倍数でなければならない
第6項はa(b/2)⁶であるがa≧128,b≧3のとき≧1458なので最長で6項以下である
第5項はa(b/2)⁵でa=128,b=3のとき972, a≧256,b≧3のとき1944, a≧128,b≧4のとき≧4096だから初項128,公比3/2の場合のみが6項となる唯一の解である