純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

n=4 X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)
X=(-1)^(1/2)

n=5 X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)

ラグランジュ分解式
ζ5+ ζ5^2+ζ5^4+ ζ5^3　�@
ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3　�A
ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3　�B
ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3　�C

�@=-1

�B^2
=(ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3)^2
=(ζ5+ζ5^4- ζ5^2- ζ5^3)^2
=(ζ5+ζ5^4+ ζ5^2+ ζ5^3)^2-4*(ζ5+ζ5^4)(ζ5^2+ζ5^3)
=(-1)^2-4(ζ5^3+ζ5+ζ5^4+ζ5^2)
=(-1)^2-4(-1)
=1-(-4)=5

したがって

�B=√5

ζ5 +ζ5^4=1/2(�@+�B)=(-1+√5)/2
ζ5^2+ζ5^3=1/2(�@-�B)=(-1-√5)/2