ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%B3%E5%8F%8C%E5%AF%BE
前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
も、ほぼもろに書いてありますね。
>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
>双対群上の函数としての離散フーリエ変換>を持ち、有限群上の任意の函数が
>その離散フーリエ変換から復元することができる。

これは、
「ガロア群G∋σに対して、θ(σ)=σ(θ)（θへのσの作用）をG上の函数とみなす」
「Gの双対群である指標群G^∋χとθから得られるラグランジュ分解式=べき根 をG^上の函数とみなす」
とすればOK.

べき根たちは指標に付随する元の数の離散フーリエ変換として得られ
逆離散フーリエ変換で、そのべき根たちから元の数を復元できる、つまりべき根表示される。