>>21 補足

いま、この方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
（方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能）

ここで、体の拡大を図示すると

Q(α)　　　Q(a^(1/5),ζ)
↑　　　　　　↑
Q－－－→Q(ζ)

ここに、α＝cos(2π/11)、ζは1の5乗根

・Q(α)は、最小分解体で、方程式は完全に因数分解される
・Q(a^(1/5),ζ)は、クンマー拡大
・Q(a^(1/5),ζ)は、Q(ζ)に対し5次の拡大で、自己同型のガロア群は5次の巡回群
・Q(a^(1/5),ζ)内で、α＝cos(2π/11)のべき根表示が得られるから
　Q(α)⊂Q(a^(1/5),ζ)だ
・Q(α)には、a^(1/5)とζの両方とも、含まれない
・Q(a^(1/5),ζ)は、Qから数えると、20次の拡大
・α＝cos(2π/11)は、もとの方程式の三角関数による解法（根の三角関数による表示）と見ることができる

こんな感じですかね
なかなか、面白い例ですね