>>431 追加

これ面白い
”符号の決定はガウスを手こずらせた問題として有名ですが”
か
知らなかった！ｗ

(参考)
https://tsujimotter.はてなブログ.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）
(抜粋)
1,4 は 5 の平方剰余，2,3 は 5 の平方非剰余であるから
ζ_5-ζ^2_5-ζ^3_5+ζ^4_5=±√5
が得られます。右辺の ± の符号の決定以外は，式 (1) と完全に一致していますね。
符号の決定はガウスを手こずらせた問題として有名ですが，今回は触れないでおきましょう。
　今回考えたいのは上記の数を Q に添加した代数体についてです。その意味で，符号がどちらであっても変わりありません。
　また，式 (1) だけを考えたいのであれば，幾何学的に考えれば正であることは明らかです。
(引用終り)