1こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　の残念発言
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https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/570
Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？
A2
簡単に基礎体を有理数Qとする
また、元の方程式を、既約で可解な5次方程式とする
5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする

ガロア第一論文の最後の定理から
位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、
従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる

ここから、ある補助式から出るaがあって、
a^(1/5)を含んだ式が出てくる（a^(1/5)は、上記同様無理数）
つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、
a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう　(ここに、iは1〜5のどれか)

最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能

つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
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