>>465 より再録
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
1 の n 乗根の巾根表示
-n = 11, 13, 7-
2014.12.27 M.Kamei
P9
§ 10 C に埋め込んでの数値計算
ξ = exp^2πi/55= cos2π/55+ isin2π/55とおく．
ζ = ξ^5, η = ξ^11 である．
(引用終り)

1）”1の11乗根のべき根表示には、クンマー理論から1の5乗根が必要で
　そのために、1の55乗根（55＝5・11）に埋め込んで
　計算している
　これは、数学ではよく使われる手で、高次元に埋め込む手法”>>465
　までは書いた
2）さらに考えると、>>642 >>649 より
　x^5 - β^5 = 0 の解であり、β^5 ∈ F（β はその元の 5 乗根として巾根表示される）
　これは、クロネッカー・ウェーバーの定理（下記）の実例と見ることもできるね
3）つまり、クロネッカー・ウェーバーの定理は、円分体の表現能力が結構高い！ってことで
　β^5 ∈ F（＝Q(ζ5)）になるし
　β∈Q(ζ55)
　とも できるってことなんだ

1 の 11 乗根の巾根表示 は、クロネッカー・ウェーバーの定理の良い実例だね！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
アーベル拡大体の埋め込み
詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、
K⊂ Q(ζm) 。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。