バーンサイドの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
によると、有限群Gの位数の素因数の個数が2個でも可解群。
これによれば、S_5まで非可解群が現れなかったのは必然だったわけですね。
素因数3個が生じる最小だから。