>>692 補足
> ２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である
>　βkame∈Q(ζ55)である

追加（自明だが）
1)βkame^5 not∈R |実数ではない
2)βkame not∈R 　|実数ではない

さて
βkame^5 not∈R のところ
βkame^5の選び方を工夫して
実数にできないか
という問題だが
出来ない気がする（不還元類似かな＊））
（ ＊）注：あるa∈Qで、x^5 -a=0 の根全てを表示するにはζ5を必要とするが、それとは別に、a自身をQ(ζ5)中の実数に選べないかだが）

(参考)
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/
Akinari Hoshi
Chair, Department of Mathematics
Professor of Niigata University
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/teaching2012-j.html
[非常勤講師] 前期
早稲田大学教育学部数学科
代数序論B (木2)代数序論A (木3)
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/2012/algint14.pdf
代数序論（第 14 回・2012/07/19）
P3
例2 をよく見ると，解は 3 つとも実数解なのにも関わらず，カルダノの公式では，3 つの解を
表示するのに，複素数が必要になっている．
3 つの実数解を持つ場合は「不還元」(casus irreducibilis) とも呼ばれる．これは，3 つの実数
解を表す解の公式は，実数の中の世界だけで生きていては作れない，それまでは不合理なも
のと考えられていた「複素数」の世界にまで数の世界を拡張して，初めて解の公式が作れる
ことを表している．「複素数」がいかに自然なものかが明らかになったのである．