>>704
>>任意に有限置換群Gが与えられたときに、
>>それをガロア群とする代数方程式、
>>たとえば係数体がQであるものは
>>どうやって作成すればよいだろうか？
>良い質問ですね
で終わる（死ぬ）のが1

ガロアの逆問題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C
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楕円モジュラー関数を使った構成

n > 1 を任意の整数とする。
複素平面上の格子 Λ の周期の比を τ とすると、
この格子は周期の比が nτ であるような部分格子 Λ′ を持つ。
そのような部分格子の集合は有限集合であり、
Λ の基底変換によりモジュラー群 PSL(2, Z) が作用している。

j をフェリックス・クラインの楕円モジュラー関数 とする。
多項式 φn を、共役な部分格子にわたって
(X − j(Λi)) の積をとったものとして定義する。
X の多項式として、φn は Q 係数のj(τ)の多項式を係数としている。

互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は PGL(2, Z/nZ) として作用している。
これから、φn の Q(j(τ)) 上のガロア群は PGL(2, Z/nZ) と同型であることがわかる。

ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 φn を特殊化したときの
Q 上のガロア群が PGL(2, Z/nZ) となるような有理数が
無限（更に、稠密）に多く存在する。
群の族 PGL(2, Z/nZ) には無限に多くの非可解群が含まれている。
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