>>4
pを素数、mを整数とする　n(n-1)/2=がpの倍数↔n(n-1)が2pの倍数
↔nがpの偶数倍または奇数倍　またはn-1がpの偶数倍または奇数倍
↔①n=2mp　②n=(2m+1)p　③n-1=2mp　④n-1=(2m+1)p

①のとき　(n+2)(n+1)/2=(2mp+2)(2mp+1)/2=(mp+1)(2mp+1)=p*整数+1
②のとき　(n+2)(n+1)/2=((2m+1)p+2)((2m+1)p+1)/2
=(p{(2m+1)^2p+3(2m+1)}+2)/2=p*(奇数+奇数)/2+1=p*整数+1
③のとき　(n+2)(n+1)/2=(2mp+3)(2mp+2)/2=(2mp+3)(mp+1)=pの倍数+3
④のとき　(n+2)(n+1)/2=((2m+1)p+3)((2m+1)p+2)/2
=(p{(2m+1)^2p+5(2m+1)}+6)/2=p*(奇数+奇数)/2+3=p*整数+3

①または②のときpの倍数にならず③または④のときp=3以外ではpの倍数にならない

n(n-1)/2=3^kのときn(n-1)=2*3^k
n,n-1は　2*3^k,1　3^k,2　2*3^(k-1),3　3^(k-1),2*3　2*3^(k-2),3^2・・・
のどれかだが差が小さい組は　k=2a+1のとき3*3^aと2*3^a
k=2aのときで2*3^aと3^a　どちらにせよ差は3^aでこれが1になるのはa=0のみ
kが正なら1しかないので互いに素でないなら最大公約数は3