>>391
(a^5+1)/(a+1) =a^4-a^3+a^2-a+1
aを自然数としてA_a=a^4-a^3+a^2-a+1という数列を考えれば、
第一階差数列B_a =A_(a+1) - A_a = 4a^3+3a^2+3a
第二階差数列C_a=B_(a+1) - B_a =12a^2 +18a+10
第三階差数列D_a=C_(a+1) - C_a =24a+30

D_a =24a (mod 10) となるので、{D_a} =(4,8,2,6,0....} (mod 10)
とD_aの１の位の数は周期5で繰り返す。
a≧2において、
C_a =C_1 +Σ[k=1,a-1]D_k =40+Σ[k=1,a-1]D_k =Σ[k=1,a-1]D_k (mod 10)より、
{C_a}={0,4,4+8=2,2+2=4,4+6=0,0+0=0,0+4=4,,,,} ={0,4,2,4,0...} (mod 10)
とC_aの１の位の数はC_6=C_1となったので、周期５で繰り返す。
さらに、
B_a =B_1+Σ[k=1,a-1C_k =10+Σ[k=1,a-1]C_k=Σ[k=1,a-1]C_k (mod 10)より、
{B_a}=｛0,0+0=0,0+4=4,4+2=6,6+4=0,0+0=0,0+0=0,0+4=4,,,,}=(0,0,4,6,0} (mod10)
とB_aの１の位の数はB_6=B_1となったので、周期５で繰り返す。
さらに、
A_a=A_1+Σ[k=1,a-1B_k =1 +Σ[k=1,a-1B_k (mod 10)より、
{A_a}={1, 1+0=1,1+0=1,1+4=5,5+5=1,1+0=1,,,,} ={1,1,1,5,1}　(mod 10)
やはりA_6=A_1となったので、A_aの１の位の数は周期5の繰り返し。
よって、a=4 (mod 5) となるaで1の位の数が5となる以外ではA_aの１の位の数は1

泥臭いけど、いちおう証明できた。