>>376
f(x)=x^4-4x^2とし　頂点を　O(0,0)　A(a,f(a))　B(b,f(b))　C(c,f(c))　とする

f(a)-f(b)=a^4-b^4-4(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2-4)
A,Bを通る直線の傾きは　(a+b)(a^2+b^2-4)　

OC、ABが同じ長さの平行線分であるにはb=a+cとして
ABを通る直線の傾き　(a+(a+c))(a^2+(a+c)^2-4)=(2a+c)(2a^2+2ac+c^2-4)
=(2a+c)(2a^2+2ac)+2a(c^2-4)+c(c^2-4)　が
OCを通る直線の傾き　(0+c)(0^2+c^2-4)=c(c^2-4)　と同じならよい
2a{(2a+c)(a+c)+c^2-4}=0となるので　2a{2a^2+2c^2+3ac-4}=0
OC、ABの平行条件は　2a^2+2c^2+3ac-4=0

OC、OAが直交するには両者の傾き、c(c^2-4)とa(a^2-4)の積が-1であればよい
-1=a(a^2-4)*c(c^2-4)=ac((ac)^2-4(a^2+c^2)+16)
=ac((ac)^2-2(4-3ac)+16)=ac((ac)^2+6ac+8)平行条件より2a^2+2b^2=4-3ac
直交条件はac=tとして　t^3+6t^2+8t+1=0
t=0のとき左辺は正でt=-1のとき左辺は負だから-1と0の間に解がある

平行条件より　c=1/4*{-3a-√(32-7a^2)}　-2<a<-√2のとき　cは正
aがこの範囲で増加するとcは減少し　ac=tは負でaの増加により増加する　
tの上限はa=-√2のときで　-√2/4*{3√2-√(32-7*2)}=-√2/4*{3√2-3√2}=0
tの下限はa=-2のときで　-2/4*{6-√4}=-2
aを動かせばtは-2から0まで動けるので-1<t<0にある直交条件の解の値を取れる
そのときのaはそれから定まる他の点とで長方形が作れるので存在する