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三角関数なしで算出

三角形の三辺の長さは内接円の半径rの関数で表せる。
三辺の長さから三角形の面積が求まる
三角形の面積と内接円の関係 https://manabitimes.jp/math/1220
を満たすrを求めればよい。


# r:内接円の半径
# a.=1/4 b.=1/3 c.=9/7
https://i.imgur.com/P8aqfw3.png
black=sqrt((r+a.)^2-r^2) # 黒の長さ
blue=sqrt((r+b.)^2-r^2) # 青の長さ
green=sqrt((r+c.)^2-r^2) # 緑の長さ
ab=black+blue # 辺abの長さ
bc=blue+green # 辺bcの長さ
ca=green+black # 辺caの長さ
s=(ab+bc+ca)/2
S=sqrt(s*(s-ab)*(s-bc)*(s-ca)) #ヘロンの公式
r=2*S/(ab+bc+ca) # 面積と内接円の関係

この方程式の数値解をプログラムで算出させればいい。

オマケ（R言語のコード)

calc=\(a.=1/4,b.=1/3,c.=9/7){
fn=\(r){
black=sqrt((r+a.)^2-r^2)
blue=sqrt((r+b.)^2-r^2)
green=sqrt((r+c.)^2-r^2)
ab=black+blue
bc=blue+green
ca=green+black
s=(ab+bc+ca)/2
S=sqrt(s*(s-ab)*(s-bc)*(s-ca))
2*S/(ab+bc+ca)-r
}
uniroot(fn,c(0,max(a.,b.,c.)),tol=1e-16)$root
}

元の問題での半径
> calc(1/3,1/3,9/7)
[1] 0.5

aa'=1/4 bb'=1/3 cc'=9/7だと
> calc(1/4,1/3,9/7)
[1] 0.4490777