[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である

[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)
{x^2(x-1)-k^2}/2=(kx+1)…‥①

①より、x^2(x-1)は
xが偶数でも奇数でも偶数なので、
kは偶数に限定される

したがって、(kx+1)は
xが偶数でも奇数でも奇数となる

kは偶数なのでk≧2、k^2≧4
x^2(x-1)≧5なので、x≧3

x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)=2kx+2+k^2
x^2=(2kx)/(x-1)+2/(x-1)+(k^2)/(x-1)…‥②

②より、2/(x-1)は、
x≧4のとき自然数とならない
x=3のときのみ自然数となる


∴整数解は、k=2,x=3