基本周期T1の周期関数をf,基本周期T2の周期関数をgとして、
f+gが基本周期T3の周期関数になるとすると、f(x)+g(x)=f(x+T3)+g(x+T3)
df, dgをdf=f(x) - f(x+T3)、dg= -g(x) + g(x+T3)　と定義すると、
df=dg となり、両者は同じ関数。
一方、df(x)=f(x) - f(x+T3) =f(x+T1) - f(x+T3+T1)=df(x+T1)なので
dfは周期T1の周期関数であるか定数関数。
dgも同様に周期T2の周期関数であるか定数関数でなければならない。
df=dgなのだから、両者が異なる周期の周期関数ではありえないので
df, dgは定数関数。 df(x)=a≠0であるとすると、f(x+nT3)=f(x) - na
とnとともにf(x+nT3)は発散するのでf(x)が周期関数であることに反する。
ゆえにdf(x)=0 つまり、T3はf(x)の周期であり、T1の自然数倍である。
同様にg(x)の周期でもあるので、T3はT2の自然数倍でなければならない。
よって、f+gの周期はf,gの公倍数でなければならない。