Σ[k=1,n]a_k=a[n]とする　εを任意の正数、Nをεに応じて決まる整数、
Nより大きい任意のnで│a[n]-a│<ε/2　│c[n]-c│<ε/2　とする
N<n<mとし　-ε/2<a[n]-a<ε/2 -ε/2<a[m]-a<ε/2　だから
a[m]-a[n]=(a[m]-a)-(a[n]-a)より-ε<a[m]-a[n]<ε　同様に-ε<c[m]-c[n]<ε
a[m]-a[n]≦b[m]-b[n]≦c[m]-c[n]だから-ε<b[m]-b[n]<ε

もしb[n]が収束しないと仮定すると極限値bを持たないから次が成り立つ
「どんなbにもある正数tがありどんなMにもあるnがあり、M<nかつ│b[n]-b│≧t」
ところがbとしてb[m]を選ぶと先の結果と矛盾する