くりかえしになりますが

x=1,y=0のあたりまえの解でないとき、
(x-1)(x^2+x+1)/3=y(y+1)
は
(x-1)(x^2+x+1)/3=[(x-1)/y]y(y+1){1/[(x-1)/y]}
とおなじである

A=(x-1)
B=(x^2+x+1)/3
C=[(x-1)/y]y
D=y(y+1){1/[(x-1)/y]}
とおくと、すべての有理数yについて、
AB=CDならば、A=Cで、B=Dであるから

あなたのりくつでいえば
(x-1)(x^2+x+1)/3=y(y+1)には有理数解が存在するはず





しかしこれは(x-1)=(x-1)といっているだけのごまかしのインチキ