n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)/3=ay(y+1)/a…(3)と変形する。
(3)を(x-1)=A,(x^2+x+1)/3=B,ay=C,(y+1)/a=Dとおく。
(3)はAB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなる。
(3)は(x-1)=ayのとき、xの増加につれて|B-D|も増加する。
よって、B=Dとなるのは、x=1,y=0のときのみである。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。