n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)=a3(y^2+y)/a…(3)と変形する。
(3)はa=t(t^3-1),(x-t)(x^2+tx+t^2)=a3(y^2+y)/aのとき、成立する。
(3)はt=1なので、a=0となり、有理数解は、x=1, y=0のみとなる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。