n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)…(3)と変形する。
(3)は(x-1)=3のとき、(x^2+x+1)=(y^2+y)は成立しない。
(x-1)(x^2+x+1)=a3(y^2+y)aは、a/a=1なので、
(x-1)=a3のとき、(x^2+x+1)=(y^2+y)/aも成立しない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。