n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を(x-1)(x^2+x+1)=a3y(y+1)/a…(3)と変形する。aは有理数。
左辺のxにa3+1を代入する。
{(a3+1)^2+(a3+1)+1}これは、常に分子が奇数となり、
分子の奇数が、奇数で割り切れるか、もしくは、奇数で割り切れない数となる。
よって、(y^2+y)/aの分子が整数の場合は、(y^2+y)/aのaも奇数となる必要がある。
そのとき、(y^2+y)/aは、分子が、常に偶数となる。
aが分数の場合は、両辺にaをかけると、{(a3+1)^2+(a3+1)+1}aの分子は、は分数となり、
{(y^2+y)/a}aの分子は、偶数となる。
よって、(3)はx=1,y=0以外の有理数解を持たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。