nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nを、X^n+Y^n=(Y+m)^n…(1)とおく。
(1)をx^n+y^n=(y+1)^n…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を(x-1){x^(n-1)+…+1}=an{y^(n-1)+…+y}/a…(3)と変形する。aは有理数。
左辺のxにan+1を代入する。
{(an+1)^(n-1)+…+1}これは、常に分子が奇数となり、
分子の奇数が、奇数で割り切れるか、もしくは、奇数で割り切れない数となる。
よって、{y^(n-1)+…+y}/aの分子が整数の場合は、{y^(n-1)+…+y}/aのaも奇数となる必要がある。
そのとき、{y^(n-1)+…+y}/aは、分子が、常に偶数となる。
aが分数の場合は、両辺にaをかけると、{(an+1)^(n-1)+…+1}aの分子は、は分数となり、
({y^(n-1)+…+y})aの分子は、偶数となる。
よって、(3)はx=1,y=0以外の有理数解を持たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。