>>782
n=3のとき、7X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
7X^3+Y^3=Z^3を、7X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)を7x^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を{(7x^3-1)/3}^(1/2)={y(y+1)}^(1/2)…(3)と変形する。
x,yが有理数で、解を持つならば、x,yが整数でも、解を持つ。
(3)のxに任意の整数を代入する。その左辺の整数部をyに代入する。
右辺はyの増加につれて、y+0.5に近づく。
左辺はxの増加につれて、y+0.5に近づかない。
∴n=3のとき、7X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
例
x=789…{(7*789^3-1)/3}^(1/2)=58636.0254706...
58636をyに代入…(58636*58637)^(1/2)=58636.49999786822...

実際にはX=Y=1,Z=2が解。