n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^4+Y^4=Z^4を、X^4+Y^4=(Y+m)^4…(1)とおく。
(1)をx^4+y^4=(y+1)^4…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を{(x^4-1)/4}^(1/3)={y(y^2+1.5y+1)}^(1/3)…(3)と変形する。
x,yが有理数で、解を持つならば、x,yが整数でも、解を持つ。
(3)のxに任意の整数を代入する。その左辺の整数部をyに代入する。
右辺は左辺よりも、y+0.5に近づく。
∴n=4のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
例
x=5689…{(5689^4-1)/4}^(1/3)=63977.5956207
63977をyに代入…{63977^3+1.5(63977^2)+63977}^(1/3)
=63977.50000130252