n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3を、X^3+Y^3=(Y+m)^3…(1)とおく。
(1)をx^3+y^3=(y+1)^3…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を{(x^3-1)/3}^(1/2)={y(y+1)}^(1/2)…(3)と変形する。
x,yが有理数で、解を持つならば、x,yが整数でも、解を持つ。
(3)のxに任意の整数を代入する。その左辺の整数部をyに代入する。
右辺は、左辺よりもy+0.5に近い値となる。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
例
x=3759…{(3759^3-1)/3}^(1/2)=133060.1048
133060をyに代入…(133060*133061)^(1/2)=133060.4999990605