n=5のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^5+Y^5=Z^5を、X^5+Y^5=(Y+m)^5…(1)とおく。
(1)をx^5+y^5=(y+1)^5…(2)とおく。x,yは有理数。
(2)を{(x^5-1)/5}^(1/4)={y(y^3+2y^2+2y+1)}^(1/4)…(3)と変形する。
x,yが有理数で、解を持つならば、x,yが整数でも、解を持つ。
(3)のxに任意の整数を代入する。その左辺の整数部をyに代入する。
右辺は、yの増加につれて、y+0.5に近づく。
左辺は、xの増加につれて、y+0.5に近づかない。
∴n=5のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
例
x=500…{(500^5-1)/5}^(1/4)=1581.13883008417（左辺）
1581をyに代入…{1581^4+2(1581^3)+2(1581^2)+1581}^(1/4)
=1581.500079038869356（右辺）