>>303
直感的にダメっぽいけどな
c>0を十分小さい定数にして

f(x) = exp( log x + c sin(2π( log x )/( log t ) ) ( (x > 0)
= 0 ( x = 0 )
= -f(-x)

とかでダメじゃない？

f(tx)
= exp( log x + log t + c sin(2π( log x )/( log t ) + 2π ) )
= t exp( log x + c sin(2π( log x )/( log t ) ) )
= t f(t)

で原点でも連続だと思う