>>87
ない
R = ℤ[ω]において素イデアルπ₃をπ₃= <√3i, ω-1>とおく
πをRの素イデアルとして
π | p+qω、π | p+qω̅とするとπ | q(ω-ω̅) = π | √3iqによりπ=π₃でなければπ|q、よってπ|pであり、よってπ=π₃でなければそれはp,qの共通素因子でなければならない
すなわちp,qが互いに素であれはp+qω、p+qω̅はπ₃以外の公約素イデアルを持たない
aₙ+bₙω = (p + qω)ⁿにおいてaₙとbₙが共通素因子rを持つとしてr≠3ならrRは(i)素イデアルであるか、または(ii)rR=ππ̅と相異なる素イデアル二つの積になるしかないが
(i)のとき
rR | p+qωだからrR | p+qω̅で既に示した事に矛盾
(ii)のとき
π | p+qω, π̅ | p+qωによりπ | p+qω̅となりやはり矛盾
よってaₙ,bₙの共通素因子は3しかない