>>311
>　微分により解析性の定義としても、周回積分に
>により解析性の定義としてもいいのだとすると、
>どちらを基礎において複素関数論を組み立てても
>良いのだろうか？

それは、難しい問いですね
ちょっと考えてみると、普通に複素変数zによる微分から始めるのが、良いと思います

下記、複素解析 wikipedia が、ほぼ正しいと仮定して
微分から始めて、正則関数-極（特異点）、その後くらいに、周回積分か。その後、リウヴィルの定理、解析接続で、途中適当に実例 e^z 三角関数などなどを適当に配置して
あと、多変数複素解析 をほのめかす。教科書としては、そんな流れが分かり易いと思いますけど

周回積分を出発点に、論を組み立てると、まず周回積分の経路の厳密な定義が必要になりますね。そして、積分の定義も（リーマン積分？）
多分、経路の定義と積分の定義が、ここを厳密にやろうとすると、大変でしょう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90
複素解析

正則関数
詳細は「正則関数」を参照 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0

特異点の分類
詳細は「特異点 (数学)」を参照

複素関数の分類
複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり[15]、積分可能であり、解析的である。定義域（若しくは考察の対象となっている領域）の全体で正則な関数を正則関数といい[1][8]、特に複素平面全体を定義域とする正則関数を整関数という[1][8]。孤立した極を除いて正則な関数を有理型関数という[1][8]。指数関数、正弦関数、余弦関数、多項式関数など、多くの初等関数は整関数であるが[1]、正接関数(
tan )などは極を持つから有理型であり、対数関数は負の実軸に分岐を持ち正則でない[1][8]。ガンマ関数は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則である[1][16][17]。

つづく