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ヒルベルトの第１２問題には多くの側面があると思います。

ヒルベルトの第 12 問題：クロネッカーの定理を、有理数体または虚 2 次体の代
わりに、任意の代数体を取った場合に拡張すること。私はこの問題を、数および
関数の、すべての理論の中で最も深く最も重要なものの一つと考える。この問題
は、多くの側面から近づき得るように見える。
ヒルベルト 「数学の諸問題」12より

この時点では、虚 2 次体上のアーベル拡大に対しては問題は
未解決とされていました。高木貞治はこの問題に取り組み、
Q(√−1) 上の拡大については1903 年の論文 で解決しました。
確かにこの論文の 17 ページ目には

さてこの論文の目的とした点に到達した。すなわち次の言明の
証明である。

ガウスの数体の任意のアーベル拡大はレムニスケート体である。

とあります。詳細はさておき、これで
次の問題が視界に入ってきました。

アーベル拡大 L ⊃ K について、K に応じて円分体や
レムニスケート体と呼び方を変えるのではなく、
K の取り方によらない条件によって、「定理 1 の意味で L は
K の最大のアーベル拡大である。」という性質を
特徴づけることはできないか。

ヒルベルトの言う通りこの問題には多くの側面があります。