前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/951-953
>通常はz=0でｚ^2は等角でない

下記の説明だね
(参考)
https://math-fun.net/20211204/20711/
趣味の大学数学 木村すらいむ（木村一輝）
等角写像とは、性質：z^2を例に
2021年12月4日

今回は、
f(z)=z^2
という関数を使って、等角写像の性質を調べてみましょう。
曲線C1,C2
? のなす角度と言いますが、最も簡単な曲線としては直交する直線が考えられます。
x=1という直線、
y=iという直線は、直交しています。これらは
fによってどのような曲線に写るのでしょうか。
C1(t)=1+it、
C2(t)=t+iとパラメータ表示しましょう。それらの像は、
f(C1(t))=(1+it)^2 =1?t^2 +2ti、
f(C2(t))=(t+i)^2 =t^2 ?1+2tiです。
実部、虚部を
u,vとすると、
(1?t^2 ,2t),(t2 ?1,2t)という曲線になります。これはよく見る放物線
(t,t^2 )を回転させた曲線です。

一般論として、臨界点でない点では、正則関数は等角写像となるのでした。
f(z)=z^2
は正則で、
f'(z)=2zなので、
z=0において臨界点を持ちます。そして、
z=0において等角写像ではありません。
C1(t)=it、
C2(t)=tという原点を通る直線を考えます。すると、その像は
f(C1(t))=?t^2
f(C2(t))=t^2
です。曲線は接するのみで、交わりません。
t=0では、速度ベクトルがそれぞれ0になり、角度が0です。よって、等角写像でないことがわかりました。

直交座標ではなく、極座標を使って性質を調べるのも便利です。

https://math-fun.net/20211203/20690/
趣味の大学数学 木村すらいむ（木村一輝）
複素ポテンシャルとは：円環領域を例に
2021年12月3日