逆写像を考えてみればいい。
w=z^2とおくとwはzの正則函数だが
逆函数z=√w は原点において正則ではなく
分岐点（代数特異点）を持つ。
数学が分かっていれば、連想ゲームによらずとも
こういう極めて基本的なことが関係した話と察しが付く。

では、「定義によっては等角写像にもなる」
とはどういうことか？
問題はwの値とzの値が1対1対応しない
（無理に分枝を取って1対1対応にしてもz=0を通る半直線上でギャップが生じる）
ことから来るから、リーマン面を使って
1対1対応を作ってやればいい。
そのことを含意した定義にしてやればいいって
ことでは？　知らんけどｗ