大学学部レベル質問スレ 22単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

[x] := {y ∈ X : y ～ x} for x ∈ X
X / ～ := {[x] : x ∈ X}

X = 空集合であるとき、

X / ～ = 空集合 or X / ～ = {空集合} ?

>>152
それで？Xが空のときRはどうなるんだ？

これすらわからんのに測度だの多様体だのアホかよ
そんなもんやるくらいなら高校数学の論理でも復習した方が遥かに有益

>>152
関係と同値関係の混同が見られる。

まぁこういうのがわからんというあのは初学者あるあるなんだが、このレベルであるにも関わらず「自分は頭がいい」と思ってるのが信じられん

質問：以下の理解でおｋ？

Xを位相空間とする。A⊆Xとする。
Aが可分　⇔　∃可算B⊆A (AにおけるBの閉包)＝A
Aにおける閉包はXにおける閉包cl(B)をAに制限したものだから、結局、∃可算B⊆A A⊆cl(B)

↑これでおｋ？

>>155

意味不明です。混同などしていないと思います。

X が空集合のときには、その唯一の部分集合である R も空集合になります。
そして、 R が定める空な関係 ～ は同値関係になっています。

訂正します：

>>155

意味不明です。混同などしていないと思います。

X が空集合のときには、 X × X の唯一の部分集合である R も空集合になります。
そして、 R が定める空な関係 ～ は同値関係になっています。

>>154

X が空集合であるときには、 X × X は空集合、そして、その唯一の部分集合 R も空集合です。

何が言いたいのでしょうか？

>>160
それがわかっていれば>>153のような疑問が湧く筈がない

>>157よろしく

>>153
>X / 〜 = 空集合
こっち

おk

>>162
普通可分ってX=Aのときぐらいしか使わないけど、Aが真部分集合の場合ってどのようなシチュエーションで使われるの？

>>161
>>163

あ、勘違いしていました。

X が空集合であるときに、 {[x] : x ∈ X} が空集合であるのは、、
X が空集合であるときに、 {x : x ∈ X} が空集合であるのと同じ理由からですね。

散々教科書の誤植レベルのミスをあげつらって著者を馬鹿にしてたのに、自分の(誤植レベルではない)ミスはただの勘違言って矮小化したいんですね

＞ただの勘違言って
ただの勘違いと言って

>>157
よろしく

おk

(X,<)を全順序、c.c.c.,可分とする。（←これが必要か分からん）
x,y∈Xに対して、x～ｙ　⇔　x=y or x<y&(x,y)可分 or x>y&(y,x)可分　と定義する。
x～ｙが同値関係となることを示したい。

x～ｙが推移律を満たすことを示したいが分からん

訂正。
Xは可分ではない

>>171
自己解決

Cを有界な閉凸錐としたときCの端点全てからなる集合Tに対して
conv(T)=Cとなる理由が分かりません。
明らかにT⊆Cより conv(T)⊆conv(C)=Cなのは分かるのですが、逆にconv(T)⊇Cであることはどのように示したら良いですか？？

conv(A)はAの凸包です

すいません、Cを有界な閉凸錐と書いてしまったのですが、閉凸集合が正しいです。
連投になってしまい申し訳ありません。

https://math.mit.edu/~yyao1/pdf/2023_regular_season.pdf
これの(13)を解いてほしいです。

bee用にしては難しいな

x∈Cを自由にとってxを通る直線lを任意にとる
l ∩ C はlの線分でその両端点はTの元

>>174
クレインミルマンで検索
選択公理を使う

梅原雅顕、一木俊助著『これからの集合と位相』に、

集合 A, B, C, D が、 |A| = |C| と |B| ≦ |D| をみたすと

|B^A| ≦ |D^C|

が成り立つと書いてあります。

B = 空集合
A = 空集合
D ≠ 空集合
C = 空集合

であるとき、

B^A = {空写像}
D^C = {}

なので、

B^A から D^C への写像は存在しません。

したがって、

B^A から D^C への単射も存在しません。

したがって、

|B^A| ≦ |D^C|

は成り立ちませんよね？

あ、

B^A = {空写像}
D^C = {空写像}

なので、成り立ちますね。

梅原雅顕、一木俊助著『これからの集合と位相』に、

集合 A, B, C, D が、 |A| = |C| と |B| ≦ |D| をみたし、 B が空集合であるときに、

|B^A| ≦ |D^C| が成り立ち、等号は D が空集合のときに限る

と書いてあります。

B = 空集合
A = 空集合
D ≠ 空集合
C = 空集合

であるとき、

B^A = {空写像}
D^C = {空写像}

なので、

|B^A| = |D^C|

が成り立ちますよね。

これは、間違った記述ですね？

y=sin(x-y).
x=y+arcsin(y).

x=0,y=0.
x=PI/2+1,y=1.

梅原雅顕、一木俊助著『これからの集合と位相』に、

集合 A, B, C, D が、 |A| = |C| と |B| ≦ |D| をみたすと

|A^B| ≦ |C^D|

が成り立つと書いてあります。

A = C = 空集合
B = 空集合
D ≠ 空集合

であるとき、

|A^B| = 1 > 0 = |C^D|

なので、一般には成り立ちませんよね。

間違いをまた発見してしまいました。

お前が発見しなければならないのは間違い探しがやめられない自分の魂の卑しさ
しかし永遠にみつけられんやろ

κ≦λ⇒κ^μ≦λ^μ
と書けば一行で分かる

>>177
この書き方どうなの？
sinx
sin(x+sinx)
sin(x+sin(x+sinx))
の極限のことよね
s[n+1](x)=sin(x+s[n](x))
なんでしょ？
・・・を使うんなら
・・・+sin(x+sin(x+sinx))・・・
じゃないの？

マイナスか

Σ[k=0,m] (-1)^k *C[k+2n-1,k]*C[n,m-k]

wolframによるとこの和は -C[2n-1,n-1]*(m-n)*C[n,m]/(m+n) となるのですが
これはどのように計算すると得られますか

その手のやつは超幾何関数

これは₂F₁なのでガウスの超幾何定理だけで済むタイプ
別スレで出てた₃F₂が出てくるとSaalschützの定理とかDixonの公式とか使わないといけなくなる

>>184
|x-y|≦π/2はどう示すの？

y = sin( x - y ) (0<x<π/2) 何だから当たり前じゃないの？

0<x<π/2 においてy = sin(x - sin(x-..)..) は方程式
y = sin( x-y ) の解で一意に決まる
x-yは方程式x-(x-y) = sin(x-y)の解で
x - 0 > sin(0), x -π/2 < sin(π/2)
だから0<x-y<π/2

>>194
0<x<π/2+1ね

>>195
π/2<x<π/2+1の部分は？

あれ？積分区間0<x<π？

>>198
[0,π/2+1]だよ

積分区間0<x<π/2+1か
でも一緒

x-yは方程式x-(x-y) = sin(x-y)の解で
x - 0 > sin(0), x -π/2< sin(π/2+1)
だから0<x-y<π/2

tu平面で
u = x - t、u = sin(t)
の交点と考えれば0<t<π/2とすぐわかる

つまりはこの直線とsinカーブがちゃんと0<t<π/2で交点持つようにxの範囲決めてるんやな
超えてもできるだろうけど煩雑なしょうもない作業増えるだけ
逆にちゃんと理屈わかってないと-π/2<x-y<π/2に収まっててasinを噛ませられる事の論述で引っかかるようにしてあるんやな

>>201
なるほど
ここから先も交点は1つだけど
戻ってくるからx=t+π-arcsintとかになるわけね

y = sin(x-sin(x-sin(x-...)))
y = sin(x-y)
dy/dx = cos(x-y)/(1+cos(x-y))
dx = 1+1/cos(x-y) dy
また x = y + Arcsiny

∫[π/2+1,0] y dx = ∫[1,0] y dy +∫[1,0] y/cos(x-y) dy
= 1/2 +∫[1,0] tan(x-y) dy = 1/2 + ∫[1,0] tan(Arcsiny) dy = 1/2 +∫[1,0] y/√(1-y^2)dy
= 1/2 +∫[π/2,0] sint dt = 3/2

x = y + acos(y)だから
∫[0,π/2+1]ydx = ∫[0,1] y(1+asin'(y))dy
でxには早々に退場いただく方が好き

まちがえました
>>190の式は

誤　Σ[k=0,m] (-1)^k *C[k+2n-1,k]*C[n,m-k]
正　Σ[k=0,m] (-1)^k *C[k+2n-1,k+n]*C[n,m-k]

でした。しみません。宜しくお願いします。

>>204
当然こっち

x=y+arcsinyね

あと極限の存在は別途述べねばなるまいか

�@各項を(a+k)!,(a-k)!で表示
�A(a+k)! = (a+1)ₖa!
　(a-k)! = a!/( a〜a-k+1) = (-1)ᵏa!/(-a)ₖ
で各項を(a)ₖで表示
�B = ₂F₁(◯,△;□;1)なり=₃F₂(◯,△,□;☆,＊;1)なり
�C超幾何定理なり、Dixonの公式なり

Σ (2n)ₖ(-m)ₖ(1)ₖ/( (n-m+1)ₖ(n+1)ₖ )
=₃F₂( 2n, -m, 1; n-m+1,n+1; 1 )

にPfaff-Saalschütz Theorem

₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )

を適用

分母k!忘れた
エスパーして

答えﾃﾞﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

こんなにみずかしい問題だったのか

となみに、上では3F2に持ち込みましたが
>>209 では 2F1に持ち込むことができるらしそうな書き込みでしたが
どんなマジックな手法を使うのでしょうか

あなたが間違って書いた問題なら₂F₁に持ち込めます
訂正後のやつは無理

そうでしたか。ありがとうございました。

答え出たと思ったけど
ぷふぁふ-ざーるしゅっつとかの定理の証明をせんとあかんのね

可分　と　順序位相　に関係した命題を確認させてくれ
どこに載ってる？

>>218
自己解決

リーマン積分可能な関数列 (f_n) が f に区間 [a, b] で一様収束するならば、

∫ f(x) dx = lim ∫f_n(x) dx

が成り立つ。

ルベーグ積分で考えるとこの「一様収束」という条件を「一様有界」という条件に置き換えられるということですか？

超幾何定理系の公式は今も盛んに研究されてて話によるとwolframのまとめサイトには10000個くらいの公式が載ってるそうな
流石の専門家も全部知ってるとかありえない
とはいえ代表的なやつは勉強しといた方がいいかもな、この方面目指すならば絶対
超幾何定理は₂F₁(a,bc;1)がいつでも計算可能と言ってる全ての基本、コレは絶対不可避
Pfaff-Saalschütz Theoremは₃F₂(a,b,c:d;e;1)の5次元の内自由度4(上1個は負の整数でないとダメだから3.5次元くらいの感じか？)だからかなり強力
この辺までは抑えといた方がいいんかもしれん
しかしもはや全部抑えるのは無理なのでどこまで勉強しといた方がいいのかは流石にこの方面の専門家のいる大学の先生にお話聞かんとわからんやろな

n≧1のとき、
　sum_[k=0,n](-1)^k*C[n,k]*(ak+b)^(n-1)
が 0 になるのは明らかなんでしょうか。

>>221
> 10000個くらいの公式
計算問題だね
研究業績として認めてはいけまい

>>222
読み手による
般教向けの教科書、般教の試験の解答なら“明らか”は通用しない
けどそれ以降なら“明らか”はともかく“容易”で済まされて文句言えない

え〜
そんなに容易いんですか

般教の数学、つまり数学の専門家を目指してるわけではない人間ならともかく、専門課程まで進んで数学の専門家を名乗るつもりならこんなのに手こずってる場合じゃないやろ
実質 主張は

0≦m<nのとき
ΣₙCₖ (-1)ᵏkᵐ = 0

からすぐ出るしそれは

(1-x)ⁿ = Σ(-x)ᵏₙCₖ

の両辺0〜n-1階微分してx=1代入して終わり
ほとんど定石の範囲内

詳しく教えて

経済学部生なので許してください

～なので
～だから

～と仮定する。
～を仮定する。


ん～、文章書いてて、自分でも無意識に混在させてることに気付いた。
後から文章を訂正するにしても、どういう基準でどっちに統一させるべきかで一々無駄に悩むww

北斗無双とベルセルク無双のあたったときのあたり回数の違いは？計算できる？

>>230
1回当たったら、75%で次も当たるパチンコがあるとします。

1回当たったら、80%で次も当たるパチンコがあるとします。

この2台で、それぞれ5回以上、10回以上、15回以上あたる確率はどの程度違うか
計算できるものでしょうか？

また、それぞれの平均当たり回数が計算できますか？

スレタイ読めんのか？

こんな問題も計算て

こんな問題は数学板なら、ササッと計算できるかと思ったか
確率はスレタイと違う専門外だからわからんのか
意外とパチ板とレベルかわらんのかもな。
返信ありがとう

尿瓶級のゴミ
尿瓶かな？

固有ベクトルを求めるとき
「任意の実数」と「任意の定数」の違いがよくわかりません
「kは任意の実数」とか「cは任意の定数」とか、
問題によってあるいは本によって違いがあってその違いを教え江下さい

違いは特にないと思います

xの多項式f_n(x),g_n(x)が
f_1(x)=x
g_1(x)=-1
・(n+1)(f_{n+1}(x)-f_n(x))=x(g_n(x)+f'_n(x))
・(n+1)(g_{n+1}(x)-g_n(x))=x(f_n(x)-g'_n(x))

をみたすときlim[n→∞]f_n(x)を求めよ

すいません、わからないので教えていただきたいです。お願いします

>>238

xの多項式f_n(x),g_n(x)が
f_1(x)=x
g_1(x)=-1
・(n+1)(f_{n+1}(x)-f_n(x))=-x(g_n(x)+f'_n(x))
・(n+1)(g_{n+1}(x)-g_n(x))=x(f_n(x)-g'_n(x))

をみたすときlim[n→∞]f_n(x)を求めよ

すいません、見直したら第3式の-が抜けてました…

勘でsin(x)

>>240
何項か計算してエスパーしましたか？？
ぱっと見でわかったりできるもんなんですかね…

何項か計算
天才はパッと見た目でわかるかもしれんが天才ではないのでわからない
なれっこないものの話しても仕方ない

clを位相空間の閉包作用素とする

cl(∪Ai)=∪cl(Ai)って成り立たないよな?

I = ℚ、Aᵢ = { i } ( i∈I = ℚ )
cl(Aᵢ) = cl( { i } ) = { i }
∪cl( Ai ) = ∪{ i } = ℚ
cl( ∪Aᵢ ) = cl( ∪{ i } ) = cl(ℚ) = ℝ

微分方程式解くとき
唐突にf(x,t)=g(x)h(t)みたいな変数で分離し始めることあるけど
そうしていいとする理由ってどう考えればいいんですか？
f(x,t)=(xt+1)sinxtみたいになってたらどうするんだろうっていつも考えちゃいます

>>245
はぁ
テイラー展開でChatGPT

関数空間でない空間でのコンパクト収束位相とはどういう意味なのでしょうか

既に位相が入っている空間X(距離空間でもある)のある種の部分集合の属に対して
the topology of uniform convergence on compact sets
を入れるという記述が読んでいる本の中にありました
(具体的にはリーマン多様体の中の平坦な次元最大の部分多様体全体に対してこれで位相を入れると書かれています)
調べたら関数空間の場合はこの概念の定義があり、コンパクト開位相と同じものだという記述があったのですが
関数空間でない上のような部分集合族ではどう定義するのかが分かりません
知っている方いたら教えて下さい

>>247
なぜ書名とページ数を隠す？

>>248
Gromov他のmanifolds of nonpositive curvatureという本のp.158やp.254ですが
いきなり出てきたのでたぶん見てもこれ以上の情報はないかと思います

凸包coと閉包clについてS∈ℝ^nでco(cl(S))⊆cl(co(S))なのはわかるのですがSが閉包ならばco(cl(S))⊇cl(co(S))も言える理由を考えてるのですが分かりそうでわかりません…
多分、有界閉集合Tに関してco(T)も閉集合になるのだろうとは思ったのですがどうのように示せば良いかが分かってません…

http://math.caltech.edu/Convexity.html
自著の紹介だがサンプルとして無料アップされている章にあなたの知りたいことが書いてあると思われる

x ∈ cl(co(T)) なら x の 1/n 近傍に x_n ∈ co(T) がある
x_n ∈ co(T) なら x_n ∈ T か x_n1, x_n2 ∈ T で x_n ∈ co({x_n1, x_n2})
有界閉集合なら x_n, x_n1, x_n2 に集積点がある
てな具合でどう？