とりあえず曲線と曲面を先に適当な本でやってから多様体でいいんじゃね
ただ、その様子だと数学科の学生ではないようなので位相空間を知らないと仮定して、その間か多様体と並行して位相空間をやるべき

といっても深くやる必要はなくて「開集合・閉集合、近傍、第二可算性とハウスドルフ空間」の定義と「連結性と(局所)コンパクト性のもつ簡単な性質」くらいを抑えればいい(正則・正規空間やら完備距離空間やらはひとまず後回しでok)