n≧3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nを、X^n=(Y+m)^n-Y^n…(1)とおく。X,mは整数とする。
2^n=(t+1)^n-t^n…(2)のtを計算により求めると、無理数となる。
(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(3)を考える。k=(X^n)/(2^n)。
uは無理数とする。但し、{(t^n)k+u}が有理数となる自明な無理数を除く。
(3)の{(y^n)k+u}は無理数となるので、Yは無理数となる。
∴n≧3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。