以下“桁数”とは2進数展開での桁数を指すとする
2^x+3^y = 2^z+3^w = 2^u+3^v (x>z≧u)
とする
2^x - 2^z = 3^w - 3^y‥①
2^x - 2^u = 3^v - 3^y‥②
①において
2^x-2^zの桁数はちょうどxである
3^wと3^yは2桁以上違うから3^wの桁数と2^w-3^yの桁数は同じかまたは差が1である
よって3^wの桁数はxかx+1のいずれかである
②において同様にして3^vの桁数はxかx+1のいずれかである
よって3^wと3^vの桁数は同じか1差である
しかしv≠wであればその比は3以上であるから桁数は2以上違う事が必要である
よってv=wが必要である
よって①、②よりu=zであり2^u + 3^v = 2^z + 3^wが必要である□