f(x,y,z)=(x+y+z)^2+2(x+y+z)-5(xy+yz+zx)　とする

f(x,y,z)=0 →　f(x~,y,z)=f(x,y~,z)=f(x,y,z~)=f(x,y,z)=0　が成立
ただし、
x~ = -x+3y+3z-2
y~ = 3x-y+3z-2
z~ = 3x+3y-z-2

つまり、(x,y,z)=(a,b,c)がf(x,y,z)=0の解なら、
(a~,b,c),及び、これの順番の入れ替え、　;　a~= -a+3b+3c-2　,b~,c~も同様
(a,b~,c),及び、これの順番の入れ替え、
(a,b,c~),及び、これの順番の入れ替え　の18通りの解が見つかる。ただし、重複するものもある。

(1,1,1)からは(1,1,3)及びその入れ替えのみなので、3通りだが、
(451,705,3537)からは(12273,705,3537),(1451,11257,3537),(451,705,-71)及びその順番の入れ替えの18通りが見つかる

x,y,z間の大小関係、x　と　x~ = -x+3y+3z-2 の大小関係　等を考慮すれば、自然数解が無限に見つけられることを理解するのは、難しくない。