nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,mは有理数とする。
2^n=(t+1)^n-t^nのtが有理数のとき、右辺は偶数とならないので、tは無理数となる。
これより(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/2)^n,uは実数。
(2)は(2^n)k=y^n,[{(t+1)^n}k+u]=(x+m)^n,x^n={(t^n)k+u}となる。
(2)がy^n=L^n-M^n(L,Mは有理数)となるのは、
u=L^n-{(t+1)^n}k,u=M^n-(t^n)kのときのみである。
(2)の前項と後項のuは等しいので、L^n-{(t+1)^n}k=M^n-(t^n)kとなる。
移項するとL^n-M^n={(t+1)^n}k-(t^n)kとなる。よって、L,Mは無理数となる。
したがって、(x+m),xは無理数となる。
∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。