大学学部レベル質問スレ 23単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

当然

区間の両端を使って証明を書いてみる

重箱の隅をつつくなら連結性が必要

>>231
S^3へのembedingはたくさんあるよ

>>230
なるほどありがとう

>>230
なるほどありがとう

なるほど。ざたまさし

Cを単射な写像の集合とする。
Cが⊆で全順序の時、|C|≦|∪C|か？

さたまさしの書き込みが減った

体k上の整域で、k上有限生成加群になってるのは、体になるのか？

>>241
Rは加群としてK上有限生成⇒K⊂Rは整拡大
K⊂Rが整拡大 + Kが体⇒Rは体

>>241
Rを
>体k上の整域で、k上有限生成加群
とする。
kは体なのでRはk上有限次元ベクトル空間。
0でないa∈Rによる掛け算写像a:R→Rは単射。整域なので
よってRの0でない元は可逆（det(a)≠0だから）

>>243
有限次元だから単射＝全射ね

>>242
一行目を示すために、∀x∈Rに対してk[x]が有限生成であることを示そうと思うんですけど、Rが有限生成加群ならその部分加群も有限生成って言えるのでしょうか？

有限次元ベクトル空間なのだから当然
より一般に、ネーター環上の有限生成加群がネーター加群であることからもわかる

局所環はネーター環ですか

ネーター環でない環を極大イデアルで局所化したら

ネーター環でない環Rと無限増大イデアルの列Ikをとって∪Ikを含む素イデアルpをとってpで局所化する

永田,可換体論の補題2.9.7で、λ_(x) = Π[0≤a<n, nZ + a∈(Z/nZ)*](x - ζ^a) はZ[x]の元であるとされてますが、なぜでしょうか？

x^n - 1 = Π[d|n] λ_d(x)と数学的帰納法から分かる

シューアの補題を用いてアーベル群の既約表現が1次元であることを示せという問題がわかりません
セールの本では指標の直交関係式を用いて示しています

Gをアーベル群
VをCベクトル空間
ρ: G → GL(V)を既約表現

ρ(a)ρ(b) = ρ(b)ρ(a)

なので、シューアの補題より任意のb∈Gに対して、ρ(b)はλ_b id_V (λ_b ∈C)の形
よって、0でないv∈Vが生成する部分空間<v>はG不変だが、Vは既約なのでV = <v>

f：X→Yを写像、Xはたかだか可算集合とする。
G:={g：X→Y｜{x∈X|g(x)≠f(x)}は有限集合}と置く。
Gはたかだか可算集合か？

追加：Yもたかだか可算集合とする。

パッと見た感じ、Gも高々加算なんだろうけど、証明の手の付け所が分からん

X’をXの有限部分集合の集合とするとX’は高々可算。
よって G’ := {(A, g) | A ∈ X’, g: A → Y} も高々可算。
単射G→G’が存在するのでGも高々可算。

サンクス
なるほど、(A,g)∈G'のAはfと異なる値を与えるような有限個の元を集めたものか
冴えてるね。
俺は愚直にG=∪_{n<N} ｛g：X→Y|gはfとｎ個の点で異なる｝と表して、右辺の各集合が高々可算集合であることを示そうと思ってしまってた。

ℤ加群Mに対して、f:M→ℚ⊗M,x→1⊗xとします。
この時、ker(f)=T(M)であることを教えてください。
ただし、ℚ⊗Mはℤ上のテンソル積で、T(M)はMのねじれ部分群です。

T(M)の像はT(ℚ⊗M)に送られるがT(ℚ⊗M)=0だからm∈ker(f)
mが捻れ元でなければmℤ→ℚ⊗mℤは単射でℚ⊗mℤ→ℚ⊗Mも単射

なんで指標が同じだと表現は同値ですの？

>>260
ありがとうございます。
mℤ→ℚ⊗mℤが単射というのはどうやって示せるのですか。

>>260
ありがとうございます。
mℤ→ℚ⊗mℤが単射というのはどうやれば示せるのですか。

環付き空間X上の層F, Gの、前層としてのテンソル積

Γ(U, F⊗G) = Γ(U, F)⊗Γ(U, G)　（U⊂X: 開集合）

が層にならない例が思いつかないです

mℤはℤと同型だから平坦

>>264
sonajane?

2変数関数で無限回偏微分可能だが連続でない関数の例を教えて下さい

どこかで見た記憶があります

済みません、学部レベルではなかったですが宜しくお願いします

記憶違い

>>264
O(1)とO(-1)

記憶違いではないです

>>271
どこで見たか覚えていますか？古い活字かTex仕様か記憶はありますか？

f(x, y) := (1 - D(x)) * (1 - D(y)), D はディリクレ関数

f は有理点で無限回偏微分可能であるが、連続ではない。

f(x, y) := D(x) * D(y), D はディリクレ関数

f は無理点で無限回偏微分可能であるが、連続ではない。

ところで、例えば、2変数関数 f は点 (a, b) で2回偏微分可能というとき、 ∂f/∂x および ∂f/∂y の定義域は、点 (a, b) を通り、 x 軸に平行な直線上および点 (a, b) を通り、 y 軸に平行な直線上で定義されてさえいればいいんですか？

あるいは、2変数関数 f が点 (a, b) で2回偏微分可能というときには、 ∂f/∂x および ∂f/∂y は点 (a, b) の近傍で定義されている必要があるんですか？

超関数と関数の違いすらわからんあほがいるな

以下の暗号を解くと、次の暗号になる。

2040020410203876020436724284
↓
HEHNRQRQLNNL


これが解けません？どういう意味でしょうか

>>277
どのように違うのですか？

>>267
xy/(x^2 + y^2)

>>280
原点は？

マジで初歩的な質問ですまん
当方は工学部出た後趣味で数学やってるものです

線型空間Hの定義見てたら
x∈Hに対しスカラー倍kx∈Hが成り立つとはあっても
k∈Hが要請されてないんだけどもこれってどういうこと？
k∈R or Cしか要請されてない…

>>0282
K = R or C で, H が K 上の線型空間とします.
x ∈ H の k によるスカラー倍というのは, k ∈ K というのが前提となっています.
これは, 線型空間の定義がそうなっており, k ∈ H と x ∈ H
に対して積 kx が定義されるというのとは異なります.

スカラーkはHの元ではないからです、例えば数ベクトル空間R^nに対して実数(k)倍は定義されてもkはR^nの元ではないですね
k∈RorCは「スカラーkはRorCの元である」という要請ではなく「任意のk∈RorCに対してkx∈H」という要請です(つまりスカラーなるものが先に定義されていてそれがRorCの元である、ということではない)

ところでベクトル空間をHで表すってヒルベルト空間でもやってるの？

>>283
ありがとうございます

理解は出来ましたが出来ればそういう基本が載ってる本を手元に置いておきたいです
何かオススメはありますでしょうか

>>283
ありがとうございます

理解は出来ましたが出来ればそういう基本が載ってる本を手元に置いておきたいです
何かオススメはありますでしょうか

>>284
色々教えてくださってありがとうございます
こんな無能が何でヒルベルト空間なんかやってんの？　と言う質問でしたら答えはYesです

>>0285

その基本についてですが, 大学数学からのアプローチと高校数学からのアプローチの 2種類があると思います。

大学数学からアプローチするならば, 作用素を持つ群の特別な場合としての加群,そして加群の係数環 A の特別な場合としての A = R, or C の場合と言うふうに行きます.

文献は, N.Bourbaki, 代数, Chap.1, Chap.2 です. 今はフランス語版が Springer から出ています.

高校数学からアプローチするならば, 高校教科書をもう一度読み直すしかないです. つまり, ベクトルを習う前は, 数直線を基本に, 実数 xの 絶対値というものを x の『大きさ』であると我々は認識していました.

そこで, ベクトルというものを習うときには, ベクトル v は『大きさ』の他に『向き』を持つ数学的対象である, と習ったはずです. 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトル空間の主要な例となっていたはずです.

それでは, ベクトルからなる空間, 例えば R^2 に対して, 今まで習った数直線をどう位置付けするか？ということで, 『大きさは持つが向きは持たない対象』という意味で, 『スカラー』という言葉を我々は使っています. つまり, R の元がスカラーというものだ、と、我々は教わったのですね.

では, ベクトル v ∈ R^2 とスカラー a ∈ R に対して, ax ∈ R^2 はどう定義されるかというと,

a>0 の場合は, av は向きは v と同じで長さは v の a倍のベクトル,
a<0 の場合は, av は向きは v と反対で長さは v の -a 倍のベクトル,
というふうに定義しています.

高校時代の私はこういうふうにベクトルのスカラー倍というものを習いました.
だから, K = R or C がスカラーの集合, H がベクトル空間（線型空間と同じ意味です）
という設定の場合, a ∈ K, x ∈ H に対して, x の a 倍 ax (x のスカラー倍) というものが自然に認識できますね.

訂正

誤 : 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトル空間の主要な例となっていたはずです.


正 : 高校数学では R^2 とか R^3 とかの要素がベクトルの主要な例となっていたはずです.

うーん、あまりにも当たり前ですがやはり数学は難しいですね
修士論文や博士論文書く必要があるような話ではないのでのんびりやります

>>281
ｽﾞｨｩﾛｫ

>>290
で高階偏微分は？

原点でのね

>>291
定義通り

1/y.

>>293
で？計算してないでしょ

>>294
だから>>280はNG

y ≧ 0 で 1, y < 0 で 0 とかでいいんじゃね？
x方向には何回でも偏微分可能だから嘘は言ってない

>>297
>x方向には何回でも偏微分可能だから嘘は言ってない
全然ダメ＞定義通り

このバカが何を問題視してるのかがわからん

偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な

f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)

でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか

偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な

f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)

でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか

偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な

f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)

でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか

偏微分可能だが連続でない関数の例として、
よく>>280があげられますが、もっと簡単な

f(x, y) = 0 (xy =0) 1 (otherwise)

でいいと思います
なぜ、こんな簡単なことが思いつかないのでしょうか
べつの本をコピペしてるだけだからでしょうか

こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う

そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない

ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね

こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う

そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない

ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね

こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う

そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない

ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね

こう言っちゃアレだけど、托卵にキレる男性というのは社会的に弱者なので、淘汰されても仕方ないと思う

そもそも生後一年は嫡出否認の権利があったのに行使しなかったわけだから、「別の男の種だから育てたくない」は法律的に通用しない

ちゃんと法律や社会制度を理解してクレバーに立ち回れる人は、収入も身長も高くてイケメンであることが多いから、托卵されないんだよね

集合Aが集合B,Cの稠密な部分集合なとき、A^2はB×Cの稠密な部分集合になりますか。

集合Aが集合B,Cの稠密な部分集合なとき、A^2はB×Cの稠密な部分集合になりますか。

>>299
>>267
>2変数関数で無限回偏微分可能
zx,zy,zxx,zxy,zyx,zyy,zxxx,zxxy,zxyx,zyxx,zxyy,zyxy,zyyx,zyyy,…
すべてが定義できなくてはいけないんだけど？
>>297はまるでダメ>>280もちゃんと計算したらダメと分かる

>>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ

>>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ

>>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ

>>310
それはお前の計算（何を計算?したか知らんが）が間違ってるだけ

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

2/2.

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)

(x, y) ≠ (0, 0)のとき

fx
= (y(x^2 + y^2) + 2x^2y)/(x^2 + y^2)^2
= (3x^2y + y^2)/(x^2 + y^2)^2

より

fx(0, y) = 1/y

一方、

fx(0, 0) = 0

なので、fxは原点で偏微分可能ではない

R^3から2点を除いた空間の整数係数ホモロジー群を求めるにはどうすればよいのでしょうか。

もしかしてこういうのを求めてるのか？

gを[0,1]で定義された滑らかな実数値関数で[0,1/3]で0, [2/3,1]で1を取るようなものとし、R^2上の関数fを
x ≦ 0 または y ≦ 0 のとき 0,
x > 0 かつ y > 0 のとき g(min(x,y)/max(x,y))
で定めると、fはx方向、y方向に任意の回数、任意の順序で偏微分することができるが、原点の回りで連続ではない。

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)
= cosθ sinθ =(sin2θ)/2
よって座標軸上で0となるので原点の偏微分は0である
原点で不連続なのも明らか

>>324

その空間は S^2∨S^2 にホモトピー同値。

>>314
計算もせずに良く言うｗ

>>303
ツマンナイからだと思うよ

>>309
なる

>>325
GJ