t-depend の偏微分方程式をフーリエ変換して解いて元の空間に戻すというやり方がありますが、この解法はそもそもフーリエ変換可能な関数クラスでのみ解を求めてませんか？
もっと急増加（？）関数の解を見逃してないですか？