定理 5.4の2)の証明ですが、より一般的な定理 5.3の1)から明らかに成り立ちます。

ですが、杉浦さんはわざわざ以下のように証明しています。

F(x) := ∫_{a}^{x} f と置きます。
任意の x ∈ I に対して、 G'(x) = f(x) = F'(x) だから、 G(x) - F(x) は定数。
G(x) - F(x) = G(a) - F(a) = G(a)。
したがって、 ∫_{a}^{b} f = F(b) = G(b) - G(a)。

より一般的な定理5.3の1)を証明しておきながら、わざわざ特別な場合に成立つ別証明を与えているのはなぜでしょうか？

あと、定理5.3の I ですが、単なる区間ではなく、閉区間と書くべきですよね。