>>567
>辞書式とは「次」がある場合に定義されるものだから
違うか
「最小」がある場合に定義されるから整列させねばならない
か
A<B ⇔ ∃x∈B\A ∀y≪x (y∈A ⇔ y∈B)
とすると
A≪B ∧ B≪Aであるのはx∈B\A, y∈A\Bがあって
z≪xであるものはすべてz∈A∩Bまたは¬(z∈A∪B)
かつ
z≪yであるものはすべてz∈A∩Bまたは¬(z∈A∪B)
となるので
x≪yならz=x∈A∩B⊂Aで矛盾
y≪xならz=y∈A∩B⊂Bで矛盾
よってx=yでこれまた矛盾
つまり
A≪BとB≪Aは排反
どちらでも無い場合つまり
¬(A≪B) ∧ ¬(B≪A)であるのは
∀x∈B\A ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
かつ
∀x∈A\B ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
の場合だから
∀x∈(A\B)∪(B\A) ∃y≪x (y∈(A\B)∪(B\A))
となるがこれは(A\B)∪(B\A)に最小が無いことを意味していて
≪が整列順序だからつまり(A\B)∪(B\A)=φすなわちA=Bとなる
よって
2^Rに定義した順序<は全順序