体論の質問です

k⊂K⊂Lを体の拡大とします
k⊂K'を体の拡大とし、k同型σ: K → K'があるとします
Lをふくむ十分大きな体Ωの中で考えます
Zornの補題から、ある体K'⊂L'⊂Ωがあって、σはLからL'への同型に延長されます

もし、Lが代数的閉であれば、L = L'が言えます
しかし、そうでない場合は、Lと同型な体への同型へ延長されることしかわかりません

ここで疑問なのですが、L～L'だがL≠L'である例って何ですか？
k = Q, Ω = Cでいろいろ試してみましたが、L = L'にしかならない気がします