工学部出てるせいで数学はまともにやってない素人です

実数の構成について質問があります
ペアノ算術から始めてQを構成する所まではいいとして
ペアノ算術だけではQ_1とQ_2の間に何か数がある事を保証できないと思います
例えばデデキント切断でRを構成しようとしてもQにない数はペアノ算術から作った世界にはないんだからそれは空集合だと考えるのが適切な気がします

逆に操作としてデデキント切断を認めて、デデキント切断により生成される数としてRの存在を認めようとするとQまでしかない世界で何らかの実数を構成する操作を構築出来ないと実数が作れない気がします

Qを受け取ってQに対する操作だけでRを作るチューリングマシンを作れれば良いのでしょうがこれは可能なのでしょうか