実係数の多項式 p の虚根を α とするとその共役複素数も p の根であることは容易に分かります。
α とその共役複素数の重複度が一致することを簡単に証明できますか？

考えた証明は以下です。

α の共役複素数を β とする。
α の重複度を m, β の重複度を n とする。

m ≠ n と仮定して矛盾を導く。
m > n と仮定しても一般性を失わない。

p(x) = (x - α)^m * (x - β)^n * q(x), q(α) ≠ 0, q(β) ≠ 0

p(x) = [(x - α) * (x - β)]^n * [(x - α)^(m - n) * q(x)]

[(x - α) * (x - β)]^n は実係数の多項式である。
(x - α)^(m - n) * q(x) が実係数の多項式でないことがあり得るか？

実係数の多項式 p1 と実係数でない多項式 p2 の積が実係数の多項式 p になると仮定して矛盾を導く。
p2 の、係数が実数でない項のうち次数が最小であるものを c * x^k とする。
p の次数が k である項の係数は明らかに実数ではない。
これは矛盾である。

よって、 (x - α)^(m - n) * q(x) は α を根にもつ実係数の多項式である。
よって、この多項式は β も根にもつ。

これは p の根 β の重複度が n であることと矛盾する。

よって、 m = n でなければならない。

もっと簡単な証明はありますか？