HumphreysのIntroduction to Lie Algebras and Representation Theoryの、Chapter2の最初の命題。
V≠0をn次元ベクトル空間、L⊂gl(V)をsolvable部分Lie代数とすると、x∈Vで、Lの元の共通の固有ベクトルになっているものが存在する。

これがよくわからないです。
たとえば、L = {2×2上三角行列}とします。
[[a b] [0 d]]∈Lの固有値は、aとdですから、a≠dであれば、x=0でない限り、xが共通の固有ベクトルになることはないと思います。

私はどこを勘違いしているのでしょうか？